{"id":840,"date":"2025-09-03T19:16:40","date_gmt":"2025-09-03T17:16:40","guid":{"rendered":"https:\/\/uni-freiburg.de\/aam\/?page_id=840"},"modified":"2026-03-12T17:26:47","modified_gmt":"2026-03-12T16:26:47","slug":"forschung","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/uni-freiburg.de\/aam\/agru\/forschung\/","title":{"rendered":"Forschungsgebiete"},"content":{"rendered":"\n
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\n\t\n\t\t\n\tchevron-right<\/title>\n\t\n<\/svg>\n\t\t\n\t\t\tVerallgemeinerte Newtonsche Fl\u00fcssigkeiten\t\t<\/span>\n\t<\/a>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\t\n\t\t\n\tchevron-right<\/title>\n\t\n<\/svg>\n\t\t\n\t\t\tElektrorheologische Materialien\t\t<\/span>\n\t<\/a>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\t\n\t\t\n\tchevron-right<\/title>\n\t\n<\/svg>\n\t\t\n\t\t\tGrenzwerte kompressibler Fl\u00fcssigkeiten\t\t<\/span>\n\t<\/a>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\t\n\t\t\n\tchevron-right<\/title>\n\t\n<\/svg>\n\t\t\n\t\t\tRegularit\u00e4t der Navier-Stokes Gleichungen\t\t<\/span>\n\t<\/a>\n<\/div>\n\n\n\n
\n\t\n\t\t\n\tchevron-right<\/title>\n\t\n<\/svg>\n\t\t\n\t\t\tModellierung\t\t<\/span>\n\t<\/a>\n<\/div>\n\n<\/div>\n\n\n\t<\/div>\n\n\n\n
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Verallgemeinerte Newtonsche Fl\u00fcssigkeiten<\/h3>\n\n\n\n

Viele Fl\u00fcssigkeiten, deren Verhalten nicht ad\u00e4quat mit den Navier-Stokes Gleichungen beschrieben werden kann, k\u00f6nnen als so genannte verallgemeinerte Newtonsche Fl\u00fcssigkeiten modelliert werden. Die Untersuchung verschiedener Aspekte der aus diesem Ansatz resultierenden Gleichungssysteme mit so genannter p-Struktur ist ein Schwerpunkt meiner gegenw\u00e4rtigen Forschung. Ein zentrales Problem ist die Verbesserung der unteren Schranke f\u00fcr die Existenz schwacher L\u00f6sungen. Auf Grund der verschiedenen Techniken, die in 59<\/a>, 46<\/a>, 25<\/a>, 68<\/a>, 19<\/a>, 20<\/a> f\u00fcr die station\u00e4ren und instation\u00e4ren Gleichungen entwickelt wurden, konnte in beiden F\u00e4llen die Existenz schwacher L\u00f6sungen f\u00fcr p<\/mi>><\/mo>2<\/mn>N<\/mi><\/mrow>N<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/mrow>p > \\frac{ 2N }{ N+2 }<\/annotation><\/semantics><\/math> bewiesen werden. Diese Schranke ist optimal. Weitere qualitative Eigenschaften der L\u00f6sungen wurden in 59<\/a>, 56<\/a>, 53<\/a>, 41<\/a>, 33<\/a>, 25<\/a>, b1<\/a> nachgewiesen. Analoge Resultate f\u00fcr Herschel-Bulkley Fl\u00fcssigkeiten und inhomogene verallgemeinerte Newtonsche Fl\u00fcssigkeiten sind in 32<\/a>, 24<\/a>, 17<\/a> enthalten. Ein weiteres zentrales Thema ist die Regularit\u00e4tstheorie f\u00fcr Gleichungen mit p-Struktur. Befriedigende Ergebnisse sind f\u00fcr verallgemeinerte Newtonsche Fl\u00fcssigkeiten nur f\u00fcr periodische Randbedingungen bekannt (cf. 53<\/a>, 40<\/a>, 33<\/a>, 21<\/a>). Im Falle von Dirichlet Randbedingungen sind noch fundamentale Fragen offen, die aus der Divergenzbedingung und der Abh\u00e4ngigkeit der Nichtlinearit\u00e4t vom symmetrischen Gradienten resultieren. Bisher sind nur suboptimale Ergebnisse bekannt (18<\/a>, 13<\/a>). Auch im Bereich der numerischen Analysis von Problemen mit p-Struktur sind noch viele Fragen offen. Erste Resultate zu Konvergenzraten, die von p<\/mi>p<\/annotation><\/semantics><\/math> abh\u00e4ngen, voll impliziter Orts-Zeitdiskretisierungen von Str\u00f6mungen verallgemeinerter Newtonscher Fl\u00fcssigkeiten sind in 40<\/a> enthalten (cf. 37<\/a>, 31<\/a> f\u00fcr Zeitdiskretisierungen). Hierbei ist es ein zentrales Problem, ein geeignetes Ma\u00df f\u00fcr den Fehler zu finden. Basierend auf Ideen aus der Variationsrechnung, der Regularit\u00e4tstheorie und der numerischen Analysis hat sich ein „nat\u00fcrlicher Abstand“ herauskristallisiert, der sich als das angemessene Fehlerma\u00df erweist (cf. 27<\/a>, 29<\/a>, 25<\/a>, 21<\/a>, 23<\/a>, 10<\/a>). In 29<\/a> und 23<\/a> konnten erstmals optimale, von p unabh\u00e4ngige, Konvergenzraten bewiesen werden. Im Rahmen der DFG Forschergruppe „Nonlinear Partial Differential Equations: Theoretical and Numerical Analysis“ wurde zusammen mit K. Siebert das Softwarepaket ALBERTA um einen L\u00f6ser f\u00fcr Str\u00f6mungsprobleme verallgemeinerter Newtonscher Fl\u00fcssigkeiten erweitert (cf. 10<\/a> f\u00fcr Testrechnungen in station\u00e4ren Fall). In letzter Zeit interessiert mich auch die Kopplung von Str\u00f6mungen verallgemeinerter Newtonscher Fl\u00fcssigkeiten mit elastischen Strukturen. Solche „Fluid-Structur-Interaction“ Probleme treten unter anderem bei der Modellierung von Blutstr\u00f6mungen in Adern auf. Ein Teilprojekt im SFB\/TR 71 „Geometric Partial Differential Equations“ ist der analytischen und numerischen Untersuchung dieser Problematik gewidmet.<\/p>\n\n\n\n
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Elektrorheologische Materialien<\/h3>\n\n\n\n

Ein weiterer Schwerpunkt meiner gegenw\u00e4rtigen Forschung, wie auch schon w\u00e4hrend meiner Forschungsaufenthalte in Pittsburgh und Ferrara, ist die Modellierung elektrorheologischer Fl\u00fcssigkeiten (64<\/a>, 65<\/a>, 67<\/a>, \u00fc4<\/a>, \u00fc5<\/a>, b2<\/a>) und die mathematische Behandlung der resultierenden Gleichungssysteme (43<\/a>, 44<\/a>, 38<\/a>, 33<\/a>, 28<\/a>, 26<\/a>, 25<\/a>, 20<\/a>, \u00fc4<\/a>, \u00fc5<\/a>, b2<\/a>). Elektrorheologische Fl\u00fcssigkeiten \u00e4ndern ihre Viskosit\u00e4t in Abh\u00e4ngigkeit von einem \u00e4u\u00dferen elektrischen Feld. Dieser Effekt schl\u00e4gt sich in der Form des Spannungstensors nieder. Als mathematischer Prototyp daf\u00fcr kann der station\u00e4re oder instation\u00e4re so genannte p(.)-Laplace-Operator angesehen werden. Hierbei ist p eine gegebene orts- und zeitabh\u00e4ngige Funktion. In diesem Zusammenhang er\u00f6ffnet sich ein weites Feld, sowohl f\u00fcr die Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen mit p(.)-Struktur, als auch f\u00fcr die Untersuchung von Funktionenr\u00e4umen mit variablen Exponenten und auf ihnen definierten Operatoren. Beide Gebiete erleben momentan eine enorme Publikationst\u00e4tigkeit. Eigene Beitr\u00e4ge zu diesem Problemkreis sind, neben den bereits aufgef\u00fchrten Arbeiten, in 39<\/a>, 36<\/a>, 35<\/a>, 34<\/a>, 68<\/a>, b4<\/a> enthalten.<\/p>\n\n\n\n

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Grenzwerte kompressibler Fl\u00fcssigkeiten<\/h3>\n\n\n\n

In 48<\/a> gelang erstmals eine konsistente Herleitung der Boussinesq Approximation, dem Standardmodell f\u00fcr Konvektionsprobleme. Eine mathematisch rigorose Rechtfertigung vereinfachter Teilprobleme ist in 42<\/a>, 30<\/a> enthalten. In 11<\/a>, 15<\/a>, 66<\/a>, 8<\/a> werden verschiedene inkompressible Modelle als konstitutive Grenzwerte kompressibler Fl\u00fcssigkeiten gerechtfertigt. Dieser mathematisch rigorose Zugang ist durch Untersuchungen aus der Ingenieursliteratur motiviert. Die Arbeiten 22<\/a>, 14<\/a> enthalten erste theoretische Resultate f\u00fcr die Boussinesq Approximation zwischen koaxialen Zylindern.<\/p>\n\n\n\n

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Regularit\u00e4t der Navier-Stokes Gleichungen<\/h3>\n\n\n\n

Auf Grund der Skalierungseigenschaften der Navier-Stokes Gleichungen bestehen Analogien zwischen den N<\/mi>N<\/annotation><\/semantics><\/math>-dimensionalen instation\u00e4ren und den N<\/mi>+<\/mo>2<\/mn><\/mrow>N+2<\/annotation><\/semantics><\/math>-dimensionalen station\u00e4ren Gleichungen. F\u00fcr N<\/mi>><\/mo>2<\/mn><\/mrow>N>2<\/annotation><\/semantics><\/math> ist in beiden F\u00e4llen die Regularit\u00e4t und Eindeutigkeit schwacher L\u00f6sungen ein offenes Problem. F\u00fcr die station\u00e4ren Gleichungen konnte die Existenz schwacher L\u00f6sungen, die zus\u00e4tzlich eine einseitige Maximumseigenschaft f\u00fcr den Ruhedruck besitzen, gezeigt werden (58<\/a>, 57<\/a>, 54<\/a>, 52<\/a>, 47<\/a>). Auf Grund dieser Maximumseigenschaft ist es m\u00f6glich, lokale Regularit\u00e4t sogenannter schwacher „Maximumsl\u00f6sungen“ zu zeigen (55<\/a>, 54<\/a>, 52<\/a>, 47<\/a>, 45<\/a>, \u00fc2<\/a>, \u00fc3<\/a>). Diese Ideen konnten in 16<\/a> auf die Rothe-Approximation in beliebiger Dimension angewendet werden. Weiterhin gelang es zum ersten Mal in der Theorie der Navier-Stokes Gleichungen, ein hinreichendes Regularit\u00e4tskriterium anzugeben, welches positive Skalierungsdimension hat (45<\/a>). Auch bei der L\u00f6sung eines alten Problems von Leray spielt eine einseitige Schranke des Ruhedrucks eine entscheidende Rolle. In 50<\/a>, 49<\/a> wurde gezeigt, dass selbst\u00e4hnliche L\u00f6sungen der instation\u00e4ren Navier-Stokes Gleichungen, die im Raum L<\/mi>\u221e<\/mi><\/msup>(<\/mo>I<\/mi>;<\/mo>L<\/mi>3<\/mn><\/msup>(<\/mo>R<\/mi>3<\/mn><\/msup>)<\/mo>)<\/mo><\/mrow>L^\\infty (I;L^3 ( R^3 ))<\/annotation><\/semantics><\/math> liegen, notwendig trivial sind.<\/p>\n\n\n\n
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Modellierung<\/h3>\n\n\n\n

Die Modellierung neuer Ph\u00e4nomene und innovativer Materialien im Rahmen der Kontinuumsmechanik ist ein weiteres Gebiet, dem mein Interesse gilt. In der Zusammenarbeit mit Ingenieuren und Physikern ergeben sich f\u00fcr beide Seiten neue Einsichten und Impulse. Es entstehen physikalisch fundierte Gleichungen, deren mathematische Untersuchungen interessante und neue mathematische Probleme aufwerfen (cf. multipolare viskoelastische Fl\u00fcssigkeiten 61<\/a>, 63<\/a>, \u00fc1<\/a>; elektrorheologische Fl\u00fcssigkeiten 64<\/a>, 65<\/a>, 67<\/a>, b2<\/a>; Grenzwerte kompresibler Fl\u00fcssigkeiten 56<\/a>, 48<\/a>, 42<\/a>, 11<\/a>, 66<\/a>, 8<\/a>).<\/p>\n\n\n\n

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Verallgemeinerte Newtonsche Fl\u00fcssigkeiten Viele Fl\u00fcssigkeiten, deren Verhalten nicht ad\u00e4quat mit den Navier-Stokes Gleichungen beschrieben werden kann, k\u00f6nnen als so genannte verallgemeinerte Newtonsche Fl\u00fcssigkeiten modelliert werden. Die Untersuchung verschiedener Aspekte der aus diesem Ansatz resultierenden Gleichungssysteme mit so genannter p-Struktur ist ein Schwerpunkt meiner gegenw\u00e4rtigen Forschung. Ein zentrales Problem ist die Verbesserung der unteren Schranke f\u00fcr<\/p>\n","protected":false},"author":681,"featured_media":0,"parent":308,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"_trash_the_other_posts":false,"editor_notices":[],"footnotes":""},"class_list":["post-840","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/uni-freiburg.de\/aam\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/840","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/uni-freiburg.de\/aam\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/uni-freiburg.de\/aam\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/uni-freiburg.de\/aam\/wp-json\/wp\/v2\/users\/681"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/uni-freiburg.de\/aam\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=840"}],"version-history":[{"count":18,"href":"https:\/\/uni-freiburg.de\/aam\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/840\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1066,"href":"https:\/\/uni-freiburg.de\/aam\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/840\/revisions\/1066"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/uni-freiburg.de\/aam\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/308"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/uni-freiburg.de\/aam\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=840"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}